3.275 \(\int \csc ^2(c+d x) (a+b \sec (c+d x))^n \, dx\)

Optimal. Leaf size=136 \[ \frac{\sqrt{2} b n \tan (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^n \left (\frac{a+b \sec (c+d x)}{a+b}\right )^{-n} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2},1-n;\frac{3}{2};\frac{1}{2} (1-\sec (c+d x)),\frac{b (1-\sec (c+d x))}{a+b}\right )}{d (a+b) \sqrt{\sec (c+d x)+1}}-\frac{\cot (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^n}{d} \]

[Out]

-((Cot[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^n)/d) + (Sqrt[2]*b*n*AppellF1[1/2, 1/2, 1 - n, 3/2, (1 - Sec[c + d*x])/2,
(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/((a + b)*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a +
b*Sec[c + d*x])/(a + b))^n)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.164858, antiderivative size = 136, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 4, number of rules used = 4, integrand size = 21, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.19, Rules used = {3875, 3834, 139, 138} \[ \frac{\sqrt{2} b n \tan (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^n \left (\frac{a+b \sec (c+d x)}{a+b}\right )^{-n} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2},1-n;\frac{3}{2};\frac{1}{2} (1-\sec (c+d x)),\frac{b (1-\sec (c+d x))}{a+b}\right )}{d (a+b) \sqrt{\sec (c+d x)+1}}-\frac{\cot (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^n}{d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^n,x]

[Out]

-((Cot[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^n)/d) + (Sqrt[2]*b*n*AppellF1[1/2, 1/2, 1 - n, 3/2, (1 - Sec[c + d*x])/2,
(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/((a + b)*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a +
b*Sec[c + d*x])/(a + b))^n)

Rule 3875

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)/cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(Tan[e + f*x]*(a
+ b*Csc[e + f*x])^m)/f, x] + Dist[b*m, Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, e
, f, m}, x]

Rule 3834

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[Cot[e + f*x]/(f*Sqr
t[1 + Csc[e + f*x]]*Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]), Subst[Int[(a + b*x)^m/(Sqrt[1 + x]*Sqrt[1 - x]), x], x, Csc[e + f
*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*m]

Rule 139

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[(e + f*x)^
FracPart[p]/((b/(b*e - a*f))^IntPart[p]*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^FracPart[p]), Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*
((b*e)/(b*e - a*f) + (b*f*x)/(b*e - a*f))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]
&&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] &&  !GtQ[b/(b*e - a*f), 0]

Rule 138

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)
^(m + 1)*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))])/(b*(m + 1
)*(b/(b*c - a*d))^n*(b/(b*e - a*f))^p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !Inte
gerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] && GtQ[b/(b*e - a*f), 0] &&  !(GtQ[d/(d*a - c*b), 0] && GtQ[
d/(d*e - c*f), 0] && SimplerQ[c + d*x, a + b*x]) &&  !(GtQ[f/(f*a - e*b), 0] && GtQ[f/(f*c - e*d), 0] && Simpl
erQ[e + f*x, a + b*x])

Rubi steps

\begin{align*} \int \csc ^2(c+d x) (a+b \sec (c+d x))^n \, dx &=-\frac{\cot (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^n}{d}+(b n) \int \sec (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{-1+n} \, dx\\ &=-\frac{\cot (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^n}{d}-\frac{(b n \tan (c+d x)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(a+b x)^{-1+n}}{\sqrt{1-x} \sqrt{1+x}} \, dx,x,\sec (c+d x)\right )}{d \sqrt{1-\sec (c+d x)} \sqrt{1+\sec (c+d x)}}\\ &=-\frac{\cot (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^n}{d}-\frac{\left (b n (a+b \sec (c+d x))^n \left (-\frac{a+b \sec (c+d x)}{-a-b}\right )^{-n} \tan (c+d x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (-\frac{a}{-a-b}-\frac{b x}{-a-b}\right )^{-1+n}}{\sqrt{1-x} \sqrt{1+x}} \, dx,x,\sec (c+d x)\right )}{(a+b) d \sqrt{1-\sec (c+d x)} \sqrt{1+\sec (c+d x)}}\\ &=-\frac{\cot (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^n}{d}+\frac{\sqrt{2} b n F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2},1-n;\frac{3}{2};\frac{1}{2} (1-\sec (c+d x)),\frac{b (1-\sec (c+d x))}{a+b}\right ) (a+b \sec (c+d x))^n \left (\frac{a+b \sec (c+d x)}{a+b}\right )^{-n} \tan (c+d x)}{(a+b) d \sqrt{1+\sec (c+d x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 18.4615, size = 3614, normalized size = 26.57 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^n,x]

[Out]

((b + a*Cos[c + d*x])^n*Cot[(c + d*x)/2]*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x]^n*(a + b*Sec[c + d*x])^n*(-((AppellF1[-1/
2, n, -n, 1/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*(Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2)^n)/
(((b + a*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(a + b))^n) + (3*(a + b)*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(c + d*x)/2]
^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(3*(a + b)*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(c + d*
x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*n*((-a + b)*AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2
, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + (a + b)*AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*T
an[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(c + d*x)/2]^2)))/(2*d*(-((b + a*Cos[c + d*x])^n*Csc[(c + d*x)/2]^2*Sec[c + d
*x]^n*(-((AppellF1[-1/2, n, -n, 1/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*(Cos[c + d*x]*S
ec[(c + d*x)/2]^2)^n)/(((b + a*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(a + b))^n) + (3*(a + b)*AppellF1[1/2, n, -n,
3/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(3*(a + b)*AppellF1[1/2, n
, -n, 3/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*n*((-a + b)*AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5
/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + (a + b)*AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(c +
d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(c + d*x)/2]^2)))/4 - (a*n*(b + a*Cos[c + d*x])^(-1 + n
)*Cot[(c + d*x)/2]*Sec[c + d*x]^n*Sin[c + d*x]*(-((AppellF1[-1/2, n, -n, 1/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan
[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*(Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2)^n)/(((b + a*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(a +
b))^n) + (3*(a + b)*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Tan[(
c + d*x)/2]^2)/(3*(a + b)*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]
+ 2*n*((-a + b)*AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + (a +
b)*AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(c + d*x)/2]^2
)))/2 + (n*(b + a*Cos[c + d*x])^n*Cot[(c + d*x)/2]*Sec[c + d*x]^(1 + n)*Sin[c + d*x]*(-((AppellF1[-1/2, n, -n,
1/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*(Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2)^n)/(((b + a*
Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(a + b))^n) + (3*(a + b)*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a -
b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(3*(a + b)*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(c + d*x)/2]^2,
((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*n*((-a + b)*AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b
)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + (a + b)*AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d
*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(c + d*x)/2]^2)))/2 + ((b + a*Cos[c + d*x])^n*Cot[(c + d*x)/2]*Sec[c + d*x]^n*(-(((Cos
[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2)^n*(((a - b)*n*AppellF1[1/2, n, 1 - n, 3/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c +
d*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2])/(a + b) - n*AppellF1[1/2, 1 + n, -n, 3/2, Tan[(c + d
*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2]))/(((b + a*Cos[c + d*x])*S
ec[(c + d*x)/2]^2)/(a + b))^n) - (n*AppellF1[-1/2, n, -n, 1/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2
)/(a + b)]*(Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2)^(-1 + n)*(-(Sec[(c + d*x)/2]^2*Sin[c + d*x]) + Cos[c + d*x]*Sec[(
c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2]))/(((b + a*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(a + b))^n + n*AppellF1[-1/2, n, -
n, 1/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*(Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2)^n*(((b + a
*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(a + b))^(-1 - n)*(-((a*Sec[(c + d*x)/2]^2*Sin[c + d*x])/(a + b)) + ((b + a
*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2])/(a + b)) + (3*(a + b)*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(c + d
*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2])/(3*(a + b)*AppellF1[1/2,
n, -n, 3/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*n*((-a + b)*AppellF1[3/2, n, 1 - n,
5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + (a + b)*AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(c
+ d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(c + d*x)/2]^2) + (3*(a + b)*Tan[(c + d*x)/2]^2*(-((a
- b)*n*AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(c + d*x)/2]
^2*Tan[(c + d*x)/2])/(3*(a + b)) + (n*AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)
/2]^2)/(a + b)]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2])/3))/(3*(a + b)*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(c + d*x)/2]
^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*n*((-a + b)*AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a
- b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + (a + b)*AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c
+ d*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(c + d*x)/2]^2) - (3*(a + b)*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b
)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]^2*(2*n*((-a + b)*AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]
^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + (a + b)*AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)
*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2] + 3*(a + b)*(-((a - b)*n*AppellF1[3/2, n, 1
- n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2])/(3*(
a + b)) + (n*AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(c +
d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2])/3) + 2*n*Tan[(c + d*x)/2]^2*((-a + b)*((3*(a - b)*(1 - n)*AppellF1[5/2, n, 2 - n,
7/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2])/(5*(a + b)
) + (3*n*AppellF1[5/2, 1 + n, 1 - n, 7/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(c + d
*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2])/5) + (a + b)*((-3*(a - b)*n*AppellF1[5/2, 1 + n, 1 - n, 7/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((
a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2])/(5*(a + b)) + (3*(1 + n)*AppellF1[5/2
, 2 + n, -n, 7/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2
])/5))))/(3*(a + b)*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*n*
((-a + b)*AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + (a + b)*App
ellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(c + d*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(c + d*x)/2]^2)^2))/
2))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.252, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( \csc \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2} \left ( a+b\sec \left ( dx+c \right ) \right ) ^{n}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csc(d*x+c)^2*(a+b*sec(d*x+c))^n,x)

[Out]

int(csc(d*x+c)^2*(a+b*sec(d*x+c))^n,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \sec \left (d x + c\right ) + a\right )}^{n} \csc \left (d x + c\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(d*x+c)^2*(a+b*sec(d*x+c))^n,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sec(d*x + c) + a)^n*csc(d*x + c)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left ({\left (b \sec \left (d x + c\right ) + a\right )}^{n} \csc \left (d x + c\right )^{2}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(d*x+c)^2*(a+b*sec(d*x+c))^n,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((b*sec(d*x + c) + a)^n*csc(d*x + c)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(d*x+c)**2*(a+b*sec(d*x+c))**n,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \sec \left (d x + c\right ) + a\right )}^{n} \csc \left (d x + c\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(d*x+c)^2*(a+b*sec(d*x+c))^n,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sec(d*x + c) + a)^n*csc(d*x + c)^2, x)